الأعداد التامة

يعرّف العدد التام على أنه ذلك العدد الذي يساوي مجموع قواسمه باستثناء العدد ذاته. ويمكن القول - إذا لم نتقيد بهذا الاستثناء - أن مجموع قواسم العدد التام هو ضعف العدد ذاته.
أثبت أقليدس أنه إذا كان عدد مارسان 1-2n أوليا فإن (1-2n-1(2nعدد تام. ثم برهن أولر عام 1747 على أن جميع الأعداد التامة الزوجية تكتب على هذا الشكل.
وقد أمكن الآن التعرّف على الكثير من الأعداد التامة نذكر منها : 1، 6 ، 28 و 496.
وفيما يخص اسهام العرب والمسلمين في تطوير نظرية الأعداد لا بد أن نشير بإيجاز بأن مسيرة الرياضيات العربية والإسلامية مرت بثلاث مراحل هي:
- المرحلة الأولي : من القرن السابع إلى القرن التاسع، وتميزت باستيعاب الثقافة اليونانية والثقافات الشرقية (أي المصرية والبابلية والهندية والصينية).
- المرحلة الثانية : وهي المرحلة التي ظهر فيها فكر رياضي متأثر، إلى حد كبير، بالثقافة اليونانية كالفلسفة والمنطق والبرهان الرياضي، ولكنه كان يتميز بتطوّر كبير في علوم العدد والجبر.
- المرحلة الثالثة : وهي مرحلة الانطلاق الفعلية للرياضيات العربية الاسلامية، حيث كان للعلماء المسلمين خلال القرن الحادي عشر وما بعده إسهامات بارزة في الحساب والجبر والهندسة وحساب المثلثات والمنطق والحسابات الفلكية.
والملاحظ أن هؤلاء العلماء لم يهملوا البحث في الأعداد التامة. فهذا بهاء الدين العاملي يضع قاعدة ملفتة للانتباه للتعرف على الأعداد التامة:
لتكن السلسلة الهندسية ذات الأساس 2 :
+ 16 + 8 + 4 + 2 + 1
إذا جمعت عدة حدود بدءًا من الواحد، أي إذا حسبت مجموعا جزئيا لهذه السلسلة، وكان هذا المجموع أوليا فستحصل على عدد تام بضرب المجموع المحصل عليه في العدد الأخير الوارد فيه. مثال ذلك :
* 2 + 1 =3 عدد أولي، إذن 2×3 = 6 عدد تام.
* 4 + 2 + 1 = 7 عدد أولي، إذن 4×7 = 28 عدد تام.
* 8 + 4 + 2 + 1 = 15 ليس عددًا أوليا، وبـذلك قد لا يكون العدد 8×15 = 120 تامًّا ، وهو فعلا ليس عددًا تاما، لأن قواسمه هي :
10 8 6 5 4 3 2 1

60 40 30 24 20 15 12
ومجموعها 240.
* 16 + 8 + 4 + 2 + 1 = 31 عدد أولي، إذن 16×31=496 عدد تام.
* 64+32+16+8+4+2+1 = 127 عدد أولي، إذن 64×127=8128 عدد تام.
* نحسب :
8191 = 1 + 2 +4 + 8 +16 + 32 + 64 + 128 + 256 + 512 + 1024 + 2048 + 4096
وهو عدد أولي. ومن ثم نحصل على العدد التام السادس، وهو:
4096×8191=33550336
الذي يدخلنا في مرحلة الملايين.
إليك بعض المعلومات الأخرى حول الأعداد التامة :
* لا يوجد عددان تامان لهما نفس عدد الأرقام.
* العدد التام السابع (الذي يبلغ عدد أرقامه 10) هو 8589869056 .
* العدد التام الثاني عشر ( 1-2127) 2126 هو ويضم 77 رقما.
* في سنة 1963 تم التعرف على عدد تام آخر يضم 6751 رقما، وله 22425 قاسما، وهو العدد ( 1-211213) 211212.
والواقع أن القاعدة التي وضعها العاملى هي بالضبط ما ذهب إليه أقليدس. إذ أن السلسلة الهندسية التي نظر فيها العاملي تعطي: . وبناء على ذلك، فقاعدة العاملي تنص على أنه إذا كان 2n-1 أوليا فإن العدد تام (1-2n-1(2n. وقد أمكن تطبيقا لهذه القاعدة إيجاد الأعداد التامة، منها تلك التي توافق القيم التالية لـ n :
13 7 5 2 2
257 127 107 61 19
وعلى كل حال فكل الأعداد التامة التي تمّ اكتشافها لحد الآن تحقق قاعدة العاملي (أو أقليدس). والمتمعن في الأعداد التي تم اكتشافها يلاحظ أن كلها أعداد زوجية. ومن هنا يطرح السؤال : هل كل الأعداد التامة أعداد زوجية؟ الجواب عن هذا السؤال لم يتضح بعد. ولم يتوقف الرياضيون عند هذا الحد في دراسة الأعداد التامة بل وسعوها وعرفوا مثلا ما يسمى بالأعدادالمهيبة sublimes والأعداد القاصرة déficients (وهي التي يكون مجموع قواسمها أصغر منها) مثل 27 والأعداد الزائدة abondants (وهي التي يكون مجموع قواسمها أكبر منها) مثل 30.
منقووووووووووول للفائدة